무지개가 반원 형태로만 보이는 빛의 굴절 각도 원리

무지개를 보면 항상 반원이다. 구름도 둥글고, 산도 둥글게 펼쳐져 있는데 무지개만 왜 반원일까. 태양이 만들어내는 현상이라면 태양처럼 원형이거나, 하늘 전체에 걸쳐 퍼져 있어야 할 것 같다. 선택지가 두 가지로 보인다. 무지개가 반원인 것은 우리 눈의 한계 때문이거나, 아니면 빛이 물방울을 통과할 때 특정 각도에서만 색이 분리되도록 물리적으로 결정되어 있거나. 답은 후자다. 무지개는 태양을 등지고 선 관찰자 기준으로 정확히 40~42도 방향에서만 나타난다. 이 각도는 빛이 물방울 안에서 굴절하고 반사되는 물리 법칙에 의해 고정되어 있다. 반원으로 보이는 건 그 각도가 관찰자를 중심으로 원뿔 모양의 면을 이루고, 지평선이 그 원뿔의 아랫부분을 잘라내기 때문이다.

 

1. 물방울이 프리즘이 되는 과정 — 굴절, 반사, 분산의 순서

무지개는 공기 중에 떠 있는 수백만 개의 물방울이 동시에 프리즘 역할을 할 때 나타난다. 각 물방울 안에서 빛이 어떻게 이동하는지를 따라가면 무지개의 원리가 보인다.

햇빛이 물방울 표면에 닿으면 먼저 굴절되며 물방울 안으로 들어간다. 공기보다 굴절률이 높은 물(n≈1.33) 안으로 빛이 진입하면서 방향이 꺾인다. 물방울 안으로 들어간 빛은 반대편 내벽에서 내부 반사(internal reflection)가 일어나 되돌아온다. 다시 물방울 표면을 빠져나올 때 한 번 더 굴절된다. 이렇게 굴절 두 번과 반사 한 번을 거쳐 빛이 물방울 밖으로 나온다. 이 과정에서 색깔이 분리되는 이유는 빛의 파장마다 굴절률이 미세하게 다르기 때문이다. 파장이 짧은 보라색은 굴절률이 크고(n≈1.343), 파장이 긴 빨간색은 굴절률이 작다(n≈1.331). 같은 물방울을 통과해도 색깔마다 꺾이는 각도가 달라 색이 분리된다. 이것이 분산(dispersion) 현상이다.

색깔파장물에서 굴절률물방울 출사 각도

빨간색	약 700nm	약 1.331	약 42.3도
주황색	약 620nm	약 1.333	약 41.6도
노란색	약 580nm	약 1.334	약 41.2도
초록색	약 530nm	약 1.336	약 40.7도
파란색	약 470nm	약 1.340	약 40.2도
보라색	약 400nm	약 1.343	약 40.0도

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2. 42도가 결정적인 이유 — 데카르트 광선과 최소 편향각

물방울에 들어오는 빛은 물방울의 어느 위치에 닿느냐에 따라 출사 각도가 달라진다. 물방울 중심에 가까울수록 편향각이 크고, 가장자리로 갈수록 편향각이 줄어든다. 그런데 이 편향각이 계속 줄어들다가 특정 지점에서 최솟값에 도달하고, 그 이후로는 다시 올라간다. 이 최솟값을 최소 편향각(minimum deviation angle)이라 하고, 빨간색 빛의 경우 약 137.5도다. 태양과 관찰자를 기준으로 하면 이 편향각이 180도에서 137.5도를 뺀 약 42.5도 방향에서 빛이 집중된다.

이 지점에서 수많은 입사 방향의 빛이 거의 같은 방향으로 모이기 때문에 빛의 강도가 최대가 된다. 수학자 데카르트가 이 원리를 처음 분석해 데카르트 광선(Cartesian ray)이라 불린다. 42도보다 작은 각도나 큰 각도에서는 빛이 집중되지 않아 무지개가 보이지 않는다. 무지개의 안쪽이 더 밝고 바깥쪽이 어두운 이유도 이 집중 효과 때문이다. 42도 방향에서 빨간색이, 40도 방향에서 보라색이 나오기 때문에 무지개 바깥쪽이 빨강, 안쪽이 보라로 배열된다.

 

3. 왜 반원인가 — 원뿔과 지평선의 관계

42도라는 각도가 반원 형태를 만드는 이유를 이해하려면 관찰자 시점에서 생각해야 한다. 태양을 등지고 선 관찰자를 기준으로 반태양점(anti-solar point)이 있다. 반태양점은 태양-관찰자 연결선의 연장선이 지평선 아래 지면과 만나는 지점이다. 무지개는 이 반태양점을 꼭짓점으로 하는 원뿔의 표면, 즉 반태양점으로부터 42도 방향에 있는 모든 물방울에서 나온다. 이 원뿔 면이 공중에서 하나의 원을 이루는데 지평선이 그 원의 아랫부분을 가린다. 지평선 위로 보이는 부분만 눈에 들어오기 때문에 반원처럼 보이는 것이다.

반태양점이 지평선 아래로 내려갈수록, 즉 태양이 높을수록 무지개가 작아진다. 태양이 42도 이상 높이에 있으면 원뿔 전체가 지평선 아래에 위치해 무지개가 전혀 보이지 않는다. 반대로 태양이 낮을수록 원뿔의 더 많은 부분이 지평선 위에 노출되어 무지개가 더 크게 보인다. 해 질 무렵 무지개가 특히 크게 보이는 이유가 이것이다. 비행기나 높은 산꼭대기에서 무지개를 보면 완전한 원형으로 보이는 경우가 있는데 지평선이 낮아져 원뿔의 더 많은 부분이 시야에 들어오기 때문이다.

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4. 쌍무지개 — 두 번 반사된 빛이 만드는 원리

가끔 무지개가 두 줄로 보이는 쌍무지개(double rainbow)를 볼 수 있다. 안쪽의 1차 무지개보다 바깥쪽에 더 흐릿한 2차 무지개가 생기는 현상이다. 2차 무지개는 물방울 안에서 빛이 두 번 내부반사될 때 형성된다. 반사가 한 번 더 일어나기 때문에 에너지 손실이 커서 밝기가 낮다. 또한 반사 횟수가 늘어나면서 색깔 배열이 역전된다. 1차 무지개는 바깥쪽이 빨강, 안쪽이 보라인데 2차 무지개는 반대로 바깥쪽이 보라, 안쪽이 빨강으로 배열된다. 2차 무지개의 출사 각도는 약 51도다. 1차(42도)와 2차(51도) 무지개 사이의 하늘은 두 무지개에서 반사된 빛이 관찰자에게 거의 도달하지 않아 주변보다 어둡게 보인다. 이 어두운 띠를 알렉산더의 어두운 띠(Alexander's dark band)라 부른다.

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마무리하며

무지개가 반원인 건 우연이 아니다. 빛이 물방울을 통과하면서 굴절하고 반사되는 물리 법칙이 정확히 40~42도 방향에서만 색이 분리된 빛을 집중시키도록 결정돼 있다. 그 각도가 관찰자를 중심으로 원뿔 면을 이루고 지평선이 아랫부분을 잘라내기 때문에 반원으로 보인다. 무지개를 볼 때마다 지금 보이는 반원이 사실 완전한 원의 절반이고, 그 원을 이루는 수백만 개의 물방울이 각자 정확히 같은 각도에서 빛을 보내고 있다는 사실을 떠올리면 조금 다르게 느껴진다.